Una matriz de m filas y n columnas (mxn) es una tabla ordenada de números de la forma:
2ª columna↑ ↑ mª fila
Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se llama matriz cuadrada
1.SUMA Y RESTA
La matriz cero es:
La matriz opuesta es
Entonces
2. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
La multiplicación por un escalar de un número real k por una matriz A se define:
3. PRODUCTO DE MATRICES
Entonces, definimos el producto de matrices
4. TRASPUESTA DE UNA MATRIZ
La diagonal (principal) de una matriz cuadrada está formada por los elementos a11, a22, …,ann. La traza es la suma de esos elementos:
La matriz identidad es:
Una matriz cuadrada se dice que es simétrica si At = A, y antisimétrica si At = -A
Definimos:
Una matriz es nilpotente de orden n si
Una matriz es periódica de orden n si
Una matriz es idempotente si
MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
La inducción matemática es un método de demostración matemática que se usa para probar una afirmación para todos los números naturales. Dice:
Sea P(n) una propiedad que puede ser cierta o no para cada número natural n. Si se cumple que:
–P(1) es cierta
–Si P(k) es cierta→ P(k+1) es cierta
Entonces P(n) es cierta
Una matriz
es invertible si
tal que A·B = B·A = In . Si no lo es se llama matriz singular.
B=A-1 se denomina inversa de A
Cálculo de la inversa por el método de Gauss-Jordan
Para calcular la inversa de una matriz invertible A, tenemos que transformar la matriz (A|I) en (I|A-1) usando estas operaciones elementales:
Cambiar dos filas: Fi ↔ Fj
Sustituir una fila por una combinación lineal de todas las filas: Fi↔ k1F1+k2F2+…+kiFi+…kmFm ki ≠ 0, donde kj son números reales, j = 1, 2, ….m
NOTA: si obtenemos una fila de ceros en la matriz de la izquierda, entonces A es singular (no tienen inversa)
grafos
Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices, conectados entre sí por las aristas.
Si en el grafo representamos con 1 si dos vértices están conectados y con 0 si no lo están. La matriz en la que lo representamos se llama matriz de adyacencia.